命中 70% 却亏钱，命中 30% 却赚钱：准确率不等于收益

1 两个策略，一张账本

先不谈理论。假设有两个人各自下了 10 注，每注都是 100 元，没有任何滚仓、没有加倍， 单位注固定。他们的下注对象不同：

直觉会毫不犹豫地站 A：70% 对 30%，这不是一个量级的准头。 但账本要按钱算，不按次数算。十进制赔率的定义是押 1 拿回多少（含本金）， 所以命中一注 A 拿回 130 元、净赚 30 元；命中一注 B 拿回 360 元、净赚 260 元。 没命中的注，两个人都是亏掉 100 元。

把这两行加起来。A 命中 7 次，每次拿回 1.30 × 100 = 130 元， 合计回收 7 × 130 = 910 元；总投入 10 × 100 = 1000 元。 B 命中 3 次，每次拿回 3.60 × 100 = 360 元， 合计回收 3 × 360 = 1080 元；总投入同样 1000 元。

准确率栏里 A 完胜，收益率栏里 B 完胜。两栏的最优解互相矛盾， 而它们描述的是同一份账本。这不是构造出来的悖论，是十进制赔率的算术结构必然会产生的现象： 准确率只统计“对了几次”，收益率还要乘上“对一次值多少钱”。

2 判决线：盈亏平衡命中率

上一节的矛盾有一个非常干净的解释。对固定赔率 d 的重复下注， 存在一条唯一的命中率红线：命中率高于它就长期赚，低于它就长期亏。 推导只需要一步——设命中概率为 p， 赢的时候净赚 d − 1，输的时候净亏 1，长期打平意味着两者期望抵消：

把两个策略的赔率代进去，矛盾立刻消失：

A 的 70% 之所以亏，是因为它要过的线是 76.92%，差了 6.92 个百分点； B 的 30% 之所以赚，是因为它只需要过 27.78%，超出了 2.22 个百分点。 准确率必须和自己那档赔率的及格线比，不能和别人的准确率比。 A 和 B 的准确率之所以没有可比性，是因为它们参加的是两场不同难度的考试。

3 把准头和赔率压成一个数：期望值

表 3 用“超出几个百分点”做判决，方向是对的，但幅度不能直接换成钱—— 因为在赔率 1.30 上多命中 1 个百分点和在赔率 3.60 上多命中 1 个百分点，值的钱不一样。 要把两者放在同一个刻度上，得用每注期望值（expected value per unit stake）。

代进两个策略：

注意这两个数字：−9.00% 和 +8.00%，和表 2 里实际结账出来的 ROI 一模一样。 这不是巧合。当每注金额固定、赔率固定时， ROI = EV 严格成立——因为 ROI 的定义是净盈亏除以总投入， 而总投入就是注数乘单位注，净盈亏就是注数乘单位注乘 EV，约掉之后只剩 EV。

4 赔率杠杆：同样的准头，天差地别的结果

公式 (2) 里 p 和 d 是相乘的关系， 这意味着赔率对收益是乘性放大，不是加性修正。 把命中率钉死在 70%，只动赔率，看 EV 怎么走：

同一个 70% 的准确率，在 1.30 上是每注亏 9 分，在 5.00 上是每注赚 2.5 元—— 差了 259 个百分点。准确率这个数字在整张表里一动没动。 如果有人拿着一份“准确率 70%”的报告来找你， 你唯一该问的问题是：这 70% 是在什么赔率区间上拿到的？

5 正期望也会让你半路下车：波动的代价

到这里 B 看起来全面胜出：EV 正、及格线过了、赔率杠杆也在它那边。 但账本还有一栏没算——路径。 表 1 里两个策略的净盈亏序列长得完全不一样： A 是 +30, +30, −100, +30 …， B 是 −100, −100, +260, −100 …。

把这 10 个数取标准差（衡量单注结果的离散程度）：

最后一栏是关键：B 每赚 1 块钱，要承受 20.62 块钱的波动；A 是 6.62。 换句话说 B 的信号被噪声埋得更深。 这直接决定了一件很实际的事——你需要多少注才能确认自己真的有优势， 以及在确认之前你要忍受多大的回撤。

用一个小实验把这件事量出来：初始资金 5000 元，单位注 100 元固定不变， 连下 200 注，重复 10000 轮，看结局分布。 命中概率分别设为各自的真实值（A = 0.70，B = 0.30），随机种子固定为 20260808。

读这张表要读三层。第一层：中位数验证了 EV。 A 的 3200 就是 5000 − 200 × 100 × 0.09 = 3200， B 的 6600 就是 5000 + 200 × 100 × 0.08 = 6600， 模拟没有推翻算术，只是把算术的分布画了出来。

第二层：分布宽度差得很远。 A 的 5%–95% 区间是 1770 到 4630，跨度 2860； B 是 2640 到 10560，跨度 7920，是 A 的 2.8 倍。 值得注意的是 B 的最差 5% 结局（2640）虽然低于 A 的中位数结局（3200），但 B 的中位数 6600 已经是 A 的两倍多—— 正期望的力量在 200 注这个尺度上开始压倒波动，只是尾部依然难看。

第三层：过程比结局难熬。 A 的中位最深低点 3070，几乎就是它的结局值 3200——因为 A 是一路平稳下滑， 没有起伏，亏得很稳定。B 的中位最深低点是 4180， 低于 5000 的起始资金：一半以上的路径都曾跌破本金 820 元以上， 然后才涨到 6600。这 820 元的浮亏是 B 的真实成本， 不出现在 EV 里，但出现在每一个盯着账户看的人的心理账上。 很多正期望策略死在这一步，不是因为算错了，是因为在低点被放弃了。

6 那该报什么指标？

如果准确率不能单独用，一份诚实的模型评估报告里该有什么？ 按重要程度排，至少是下面这四个数：

这四个数都只用加减乘除，都能在一份回测账本上直接算出来， 并且任意一个单独看都会误导——必须一起看。 加上 IN-01 讲的对数损失和 IN-02 讲的归一化报价概率， 就构成了一套最低限度的、不至于自欺的评估口径。

7 复算脚本

本文所有数字由下面这一段脚本产生，没有任何手写的结果。 只依赖标准库，直接运行即可复现表 2 到表 7 的每一个值。 模拟部分随机种子固定为 20260808，因此输出可逐位比对。

import random
import statistics as st

UNIT, BANK, N, TRIALS = 100.0, 5000.0, 200, 10000


def breakeven(d):
    return 1.0 / d


def ev(p, d):
    return p * d - 1.0


def ledger(d, hits):
    stake = UNIT * len(hits)
    ret = sum(d * UNIT if h else 0.0 for h in hits)
    pnl = [(d - 1) * UNIT if h else -UNIT for h in hits]
    return stake, ret, ret - stake, (ret - stake) / stake, pnl


def simulate(d, p, seed):
    random.seed(seed)
    ends, mins, ruin = [], [], 0
    for _ in range(TRIALS):
        bank, lo = BANK, BANK
        for _ in range(N):
            if bank < UNIT:
                ruin += 1
                break
            bank += (d - 1) * UNIT if random.random() < p else -UNIT
            lo = min(lo, bank)
        ends.append(bank)
        mins.append(lo)
    ends.sort()
    return st.median(ends), ends[int(.05 * TRIALS)], ends[int(.95 * TRIALS)], \
        100.0 * ruin / TRIALS, st.median(mins)


A_HITS = [1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0]
B_HITS = [0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0]

for name, d, hits in (("A@1.30", 1.30, A_HITS), ("B@3.60", 3.60, B_HITS)):
    stake, ret, profit, roi, pnl = ledger(d, hits)
    p = sum(hits) / float(len(hits))
    print("%s acc=%.2f%% BE=%.2f%% profit=%+.0f ROI=%+.2f%% EV=%+.2f%% sd=%.2f sd/mean=%.2f"
          % (name, p * 100, breakeven(d) * 100, profit, roi * 100,
             ev(p, d) * 100, st.pstdev(pnl), st.pstdev(pnl) / abs(profit / len(hits))))

print("")
for d in (1.30, 1.80, 2.50, 3.60, 5.00):
    print("acc=70%% d=%.2f BE=%.2f%% EV=%+.2f%%" % (d, breakeven(d) * 100, ev(0.70, d) * 100))

print("")
for name, d, p in (("A@1.30", 1.30, 0.70), ("B@3.60", 3.60, 0.30)):
    med, p05, p95, ruin, dip = simulate(d, p, 20260808)
    print("%s median=%.0f p05=%.0f p95=%.0f ruin=%.2f%% worst_dip=%.0f"
          % (name, med, p05, p95, ruin, dip))

运行输出（本文表 2 至表 7 的数字来源）：

A@1.30 acc=70.00% BE=76.92% profit=-90 ROI=-9.00% EV=-9.00% sd=59.57 sd/mean=6.62
B@3.60 acc=30.00% BE=27.78% profit=+80 ROI=+8.00% EV=+8.00% sd=164.97 sd/mean=20.62

acc=70% d=1.30 BE=76.92% EV=-9.00%
acc=70% d=1.80 BE=55.56% EV=+26.00%
acc=70% d=2.50 BE=40.00% EV=+75.00%
acc=70% d=3.60 BE=27.78% EV=+152.00%
acc=70% d=5.00 BE=20.00% EV=+250.00%

A@1.30 median=3200 p05=1770 p95=4630 ruin=0.01% worst_dip=3070
B@3.60 median=6600 p05=2640 p95=10560 ruin=0.44% worst_dip=4180

8 写在最后

准确率之所以流行，是因为它便宜——一个百分数，谁都看得懂，谁都能拿去比。 代价是它把“对了几次”和“对得值不值”这两件事合并成了一个数， 而合并的时候丢掉的恰好是赔率，也就是钱。

本文的三层结构其实是同一句话的三种说法。 §2 说：及格线由赔率决定，70% 可能不及格，30% 可能及格。 §3 说：把准头和赔率乘起来减一，就得到每 1 元的预期收益，这个数才可比。 §5 说：即使这个数为正，波动也可能让你在兑现之前离场。 三层缺一层，结论就会跑偏。

作为本站的研究口径，我们不打算再单独发布任何形式的裸准确率。 需要说明模型表现时，至少同时给出表 8 里的四个数—— 它们都只需要加减乘除，没有任何理由省略。 如果一份评估里只有准确率，那它要么是没算，要么是算了但不想说。

参考文献

1. Kelly, J. L. A New Interpretation of Information Rate. Bell System Technical Journal, 1956, 35(4), 917–926. （期望值为正之后的注码规模判据，本文 §5 提及未展开）
2. Thorp, E. O. The Kelly Criterion in Blackjack, Sports Betting, and the Stock Market. In Handbook of Asset and Liability Management, 2008, Vol. 1, 385–428. （正期望策略的回撤特征与注码实践）
3. Levitt, S. D. Why are Gambling Markets Organised so Differently from Financial Markets? The Economic Journal, 2004, 114(495), 223–246. （赔率定价与市场认知偏差的实证研究，对应 §4 关于“市场不送高赔率”的论断）
4. Constantinou, A. C.; Fenton, N. E. Solving the Problem of Inadequate Scoring Rules for Assessing Probabilistic Football Forecast Models. Journal of Quantitative Analysis in Sports, 2012, 8(1). （为什么准确率类指标不足以评估足球预测模型）
5. 本站 IN-01：《你的模型真的比“永远猜主胜”强吗？》 baseline-vs-majority-class.html （多数类基线 42.05% 的出处，本文 §2 与表 8 引用）
6. 本站 IN-02：《赔率 2.10 是不是就等于 47.6% 的概率？》 odds-implied-probability.html （隐含概率与过轮的算术，本文 §2 的盈亏平衡线与之同源）

本文中的赔率 1.30 / 3.60、命中序列以及 5000 元本金 均为示例数值，用于演示算术流程，不对应任何具体比赛、平台报价或真实账户。 表 2 至表 7 的全部计算结果由 §7 代码 1 实际运行产生， 代码 2 的输出为该脚本真实 stdout，读者可自行复算逐位核对。

本文是一篇模型评估方法论说明， 目的在于讲清准确率与收益率的量纲差别，不构成任何投注建议。 足球比赛结果具有高度不确定性，任何预测模型都无法保证盈利。