Insights Bankroll 只需加减乘除 IN-06

下注多少才对

摘要 · 一句话结论 前五篇都在问“方向对不对”，这一篇问“尺寸对不对”。同一个机会（胜率 60%、赔率 1.90），押本金的 15.56%，100 注后资金变成 3.00 倍；押 31.11%（正好两倍）却变成 0.909 倍；押 50% 只剩 0.0044 倍。方向从头到尾没变，只有尺寸变了。本文用加减乘除和一次对数说清：最优比例怎么算、为什么算术期望是正的也能亏光、半凯利保留 74.71% 的增长率却把腰斩概率从 45.60% 压到 10.35%，以及把胜率高估 3.66 个百分点就足以让长期增长转负。

编号 IN-06 系列通俗洞察发布 2026-08-10 阅读 15 min 数据解析计算 + 模拟 seed 20260810

0 两个人，同一个机会，不同的结局

假设你找到了一个真实存在的优势：某类比赛你的判断胜率是 60%，盘口给的十进制赔率是 1.90。这意味着押 1 块钱，赢了拿回 1.90，净赚 0.90；输了 1 块钱没了。

这是一个正期望的机会。每押 1 块钱，平均能赚 0.60 × 0.90 − 0.40 × 1 = 0.14 块。换句话说每注的期望回报率是 14%——在任何投资语境里这都是极高的数字。

现在有两个人拿着同样的判断、同样的赔率、同样的 1 万块本金，各自打 100 注。甲每次押本金的 15.56%，乙每次押 31.11%—— 乙只是“更相信自己”，押得比甲多一倍。

100 注之后：甲的钱变成 3.00 万，乙的钱变成 0.909 万。甲翻了三倍，乙还亏了。同样的判断、同样的赔率、同样的场次，唯一的差别是每注押多少。

Key Point · 本文要回答的问题

IN-01 到 IN-05 讨论的都是“你的判断准不准”：基准线、赔率含义、准确率与收益的脱节、概率校准、样本量够不够。这些问题全部答对之后，还剩一个能单独把你清零的问题——每次押多少。本文说明这个问题有确定的数学答案，也说明为什么这个答案在实践中几乎总要打折使用。

1 为什么“期望是正的”不等于“会赚钱”

先看一个极端例子：把全部本金押上去（f = 1.00）。每注的算术期望依然是 +0.14，正的，没错。但只要输一次，本金就是 0，之后无论期望多正都无关了。

连赢 10 注的概率是 0.60¹⁰ = 0.00604662，也就是千分之六；连赢 50 注的概率是 0.000000000008——八万亿分之一。你几乎必然在很早的某一注上归零。

Why · 两种“平均”不是一回事

算术期望回答的是“把无数条平行世界的结果加起来除以条数是多少”。在全押的情形下，极少数连赢到底的世界里资金是天文数字，拉高了这个平均值；而你所在的那一条世界几乎肯定是 0。资金是连乘着走的，而不是相加着走的，所以决定你实际命运的是几何平均，不是算术平均。

这是本文全部内容的起点：资金按比例下注时，第 n 注之后的资金是每一注乘数的连乘积。连乘的东西要取对数才变成相加，所以我们真正要最大化的是对数资金的期望增长。

(1)

W_{n} = W_{0} \prod_{i = 1}^{n} (1 + r_{i}), \ln \frac{W_{n}}{W_{0}} = \sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + r_{i})

$r_{i}$ 是第 i 注的资金变动率。左边是连乘，右边取完对数变成求和—— 而求和的东西可以用期望来分析。这一步转换是凯利公式的全部技术含量。

2 凯利比例：一个除法就能算出来

设每注押本金的比例是 f，胜率 p，净赔率 b （十进制赔率减 1，本文 b = 1.90 − 1 = 0.90）。赢了资金乘 (1 + bf)，输了资金乘 (1 − f)。每注的对数增长期望是：

(2)

g (f) = p \ln (1 + b f) + (1 - p) \ln (1 - f)

对 f 求导置零，解出来的最优比例干净得出人意料：

(3)

f^{*} = \frac{p b - (1 - p)}{b} = \frac{p - \frac{1}{d}}{d - 1} \cdot d

d 是十进制赔率。第二种写法更有解释力：分子 $p - 1 / d$ 正是 IN-02 里讲过的优势（edge）——你的概率估计减去赔率隐含的概率。代入本文的数字：

表 1 凯利比例的计算过程（p = 0.60，十进制赔率 1.90）
量	算式	结果
净赔率 b	1.90 − 1	0.90
赔率隐含概率（盈亏平衡点）	1 ÷ 1.90	0.526316
优势 edge	0.60 − 0.526316	0.073684
每 1 单位的算术期望	0.60 × 0.90 − 0.40	0.140000
凯利比例 f*	(0.60 × 0.90 − 0.40) ÷ 0.90	0.155556

所以答案是本金的 15.56%。注意分母是 b 而不是别的东西：赔率越低，同样的优势要押得越少——因为低赔率下每次错判的相对损失更重。

Sanity Check · 三个边界情形

没有优势（p = 1/d）时 f* = 0：不下注是最优解，这不是保守，是数学结论。
优势为负时 f* < 0：公式在说“反向下注”，实践中意味着放弃这一场。
p = 1（必胜）时 f* = 1：全押，因为不可能输。这也解释了为什么 f* 接近 1 应当被视为估计出错的信号。

3 增长率全表：最优点两侧不对称

公式 (3) 给出的 15.56% 是“让长期增长率最大”的点。但我们更关心它周围长什么样：押少一点损失多少？押多一点又损失多少？把不同的 f 代进公式 (2)，得到表 2。

表中“100 注后倍数”是 $e^{100 g}$ ，即典型情形下 100 注后资金相对起始的倍数； “翻倍所需注数”是 ln2 ÷ g。

表 2 不同下注比例的长期增长率（p = 0.60，赔率 1.90，f* = 0.155556）
下注比例 f	每注增长率 g(f)	100 注后倍数	翻倍所需注数	备注
0.0200	0.002623	1.2999	264.3	极保守
0.0500	0.005893	1.8027	117.6	常见固定比例
0.1000	0.009562	2.6019	72.5	约 0.64 倍凯利
0.1556	0.010986	3.0001	63.1	凯利最优
0.2000	0.010051	2.7322	69.0	已开始衰减
0.2500	0.006692	1.9526	103.6	回落到 f=0.05 水平
0.3050	0.000000	1.0000	∞	零增长临界点
0.3111	−0.000954	0.9090	永不	两倍凯利，已转负
0.4000	−0.019839	0.1375	永不	剩 13.75%
0.5000	−0.054321	0.004374	永不	剩 0.44%
0.8000	−0.318381	0.0000	永不	实质归零

这张表有三处值得停下来看。

Reading · 表 2 的三个读法

最优点很平缓，右侧很陡。 从 f = 0.10 到 f* = 0.1556，增长率只从 0.009562 涨到 0.010986—— 提升 14.9%。但从 f* 再往右走同样的距离到 0.2111 附近，增长率就掉回 0.10 的水平。押不足的代价小，押过头的代价大，这是全文最实用的一句话。
零增长点在 0.3050，不在 0.3111。 很多科普文说“押两倍凯利增长率恰好为 0”，那只在净赔率 b = 1（等额赔付）时成立。本文 b = 0.90，数值求解得到真正的零增长比例是 f₀ = 0.304967，是 f* 的 1.9605 倍。所以两倍凯利（0.3111）已经越过临界线， g = −0.000954，100 注后剩 0.909 倍。
越过临界线之后衰减极快。 f 从 0.3111 到 0.50 只增加了 0.19， 100 注后的倍数从 0.909 掉到 0.004374——差 207.8 倍。 f = 0.80 时 100 注后的倍数在四位小数下已经显示为 0.0000。

第 2 点值得单独强调，因为它是一个流传很广的错误。零增长条件是 g(f₀) = 0，即：

(4)

p \ln (1 + b f_{0}) = - (1 - p) \ln (1 - f_{0})

这个方程没有初等解析解，只能数值求。 “f₀ = 2f*” 是 b = 1 时的巧合，不是普遍规律。在 b < 1（低赔率）的情形，f₀ < 2f*，也就是临界线比人们以为的更靠近最优点——安全边际比直觉更窄。

4 过度下注：为什么它比“判断错”更危险

到这里数学是清楚的，但还有一个关键的直觉没建立起来：为什么押多一点会让一个正期望的机会变成亏钱的机会？答案在于亏损和盈利在乘法世界里不对称。

押 50% 本金，赢一次乘 1.45，输一次乘 0.50。赢一次再输一次，资金变成 1.45 × 0.50 = 0.725—— 一赢一输之后你亏了 27.5%。而胜率 60% 意味着长期看每 5 注赢 3 输 2， 5 注的乘积是 1.45³ × 0.50² = 0.7622。每 5 注亏掉 23.78%，注打得越多亏得越彻底。

Intuition · 加法世界与乘法世界

在加法世界里（每次固定押 1 块钱），赢 3 输 2 净赚 3 × 0.90 − 2 = +0.70，稳赚。在乘法世界里（每次押固定比例），亏 50% 需要涨 100% 才回本，而不是涨 50%。押的比例越大，这个不对称越致命。算术期望活在加法世界，你的资金活在乘法世界—— 这就是为什么“期望为正”这个条件远远不够。

可以把它写成一个更容易记的形式。定义每注的波动惩罚：对小的 f，公式 (2) 做二阶展开得到

(5)

g (f) \approx \underset{期望收益}{\underset{⏟}{μ f}} - \underset{波动惩罚}{\underset{⏟}{\frac{σ^{2} f^{2}}{2}}}

期望收益项随 f 线性增长，波动惩罚项随 f 平方增长。 f 小的时候线性项占优，加仓有收益；f 变大后平方项追上来并反超，这就是最优点存在的原因，也是为什么最优点右侧掉得比左侧快—— 你在跟一个平方项赛跑。

这个近似还给出一个便于口算的结论：最优点近似在 $f^{*} \approx μ / σ^{2}$ ，即期望除以方差。优势越大押越多，波动越大押越少—— 凯利公式的全部精神就在这一个分式里。

5 分数凯利：花 25% 的增长率买走 77% 的风险

第 3 节说过最优点左侧平缓、右侧陡峭。这个不对称有一个直接的实践推论： 故意押得比 f* 少是一笔非常划算的交易。把 f 取 f* 的某个分数 k，看看增长率保留了多少。

表 3 分数凯利的增长率保留比例（f* = 0.155556，g(f*) = 0.010986）
策略	下注比例 f	增长率 g(f)	保留比例	损失的增长率
四分之一凯利	0.038889	0.004775	43.46%	56.54%
半凯利	0.077778	0.008208	74.71%	25.29%
四分之三凯利	0.116667	0.010286	93.63%	6.37%
全凯利	0.155556	0.010986	100.00%	0.00%

半凯利只押一半的钱，却保留了 74.71% 的长期增长率。这个“押一半、留四分之三”的性质不是巧合，而是公式 (5) 里二次型的直接后果：在最优点附近，增长率对 f 的偏离是二阶敏感的。

(6)

\frac{g (k f^{*})}{g (f^{*})} \approx k (2 - k) (k = 0.5 \Rightarrow 0.75)

近似式给出 k = 0.5 时保留 75%，实测 74.71%——吻合到小数点后两位。 k = 0.75 时近似给 93.75%，实测 93.63%。这个 k(2−k) 的形状值得记住：下注比例减半，增长率只减四分之一。

Trade · 这笔交易买到了什么

只看表 3 会觉得四分之三凯利最划算（只损失 6.37% 增长率）。但表 3 只算了收益，没算风险。第 7 节的模拟会给出另一半账：全凯利路径中有 45.60% 会在 500 注内某个时刻腰斩（跌破起始资金的一半），半凯利只有 10.35%。用 25.29% 的增长率，换掉 77.3% 的腰斩概率（45.60% → 10.35%）。这才是半凯利被广泛采用的真实理由。

6 估计误差：3.66 个百分点的悬崖

以上全部计算都建立在一个假设上：p = 0.60 是真的。但 IN-05 已经证明过，50 场的观测胜率 60% 对应的 95% 置信区间是 [0.4642, 0.7358]——真值完全可能是 0.55。如果你按 0.60 算出 f* = 0.155556 并照此下注，而真相是 0.55，会发生什么？

这个问题只需要把真实的 p 代进公式 (2)、但 f 保持在 0.155556 不动。

表 4 误判胜率的后果（始终按 f = 0.155556 下注，赔率 1.90）
真实胜率 p	该 p 的正确 f*	在 f=0.1556 下的 g	100 注后倍数	结局
0.6000	0.155556	0.010986	3.0001	增长
0.5800	0.113333	0.004984	1.6461	增长（已减半）
0.5634	0.078270	0.000000	1.0000	临界点
0.5600	0.071111	−0.001018	0.9032	萎缩
0.5500	0.050000	−0.004019	0.6691	萎缩
0.5400	0.028889	−0.007020	0.4956	萎缩
0.5263	0.000000	−0.011127	0.3287	无优势却在下注
0.5000	−0.055556	−0.019024	0.1492	纯亏

数值求解得到的临界点是 p = 0.563391。也就是说，只要真实胜率比你以为的低 3.66 个百分点 （0.60 − 0.5634），你按全凯利下注就从“赚”变成“亏”。

Danger · 3.66pp 有多容易越过

IN-05 算过：50 场样本的 95% 置信区间半宽是 0.1358。 3.66pp 只是这个半宽的 27%。换句话说，在 50 场样本上观测到 60% 胜率，真值落在临界点以下（< 0.5634）的可能性相当大，而你在这种情形下按全凯利下注就是在系统性地亏钱—— 即使你的方向判断整体上是对的。

对比一下半凯利在同样误判下的表现：真实 p = 0.55、按 f = 0.077778 下注时，g = +0.000776，依然是正的。全凯利在这里已经是 −0.004019。

Key Point · 分数凯利的真正作用

半凯利常被解释为“降低波动”，这只是次要好处。它的首要作用是为估计误差留出安全边际。表 4 显示按 f* 下注时容错空间只有 3.66pp；而半凯利在真实胜率低到 0.55 时仍能维持正增长。你并不知道自己的 p 是多少——这个事实本身就要求你押得比公式说的少。押 f* 等于宣称“我的概率估计精确到小数点后两位”，而 IN-04 和 IN-05 的全部内容都在说这个宣称站不住。

还有一层：赔率也会变。表 5 固定 p = 0.60，看赔率如何改变最优比例。

表 5 赔率对最优比例的影响（固定 p = 0.60）
十进制赔率	隐含概率（平衡点）	凯利 f*	g(f*)	决策
1.60	0.625000	−0.066667	—	不下注
1.75	0.571429	0.066667	0.001677	小注
1.90	0.526316	0.155556	0.010986	本文基准
2.00	0.500000	0.200000	0.020136	加注
2.20	0.454545	0.266667	0.042517	加注
2.50	0.400000	0.333333	0.081093	重注
3.00	0.333333	0.400000	0.148342	重注

赔率 1.60 时 f* 为负——你有 60% 的胜率，但盘口要求 62.5% 才能保本， 正确操作是不下注。这印证了 IN-02 的结论：优势不是“你觉得能赢”，而是“你的概率高于赔率隐含的概率”。同一个 60% 的判断，在 1.60 的盘口上一文不值，在 3.00 的盘口上值 40% 仓位。

7 蒙特卡洛：2000 条人生同时走完 500 注

前面全是解析计算，算的是“长期”。但你只活一次。所以让脚本模拟 2000 条独立路径，每条走 500 注，起始资金 1.0，胜率真的是 0.60，赔率真的是 1.90（这一节假设估计完全准确）。然后看每个策略的中位数结局、中位最大回撤和破产概率。

表 6 500 注 × 2000 条路径的模拟结果（seed = 20260810）
策略	f	中位数终值	平均终值	中位最大回撤	P(曾跌破 50%)	P(曾跌破 1%)
保守定比	0.020000	3.7115	4.0636	19.63%	0.00%	0.00%
四分之一凯利	0.038889	10.8849	15.4801	35.65%	0.65%	0.00%
保守定比	0.050000	19.0374	34.7772	43.92%	2.10%	0.00%
半凯利	0.077778	60.5689	337.4904	61.52%	10.35%	0.00%
全凯利	0.155556	243.0368	1831838.69	89.89%	45.60%	0.10%
1.5 倍凯利	0.233333	57.1383	2.27×10⁹	98.66%	73.00%	4.35%
2 倍凯利	0.311111	0.6206	1.95×10¹¹	99.96%	91.50%	26.90%
半仓梭哈	0.500000	0.0000	332.2606	100.00%	99.95%	97.55%

这张表是全文最重要的一张。逐条读：

Read · 表 6 说了四件事

一、中位数在 f* 处最高。 全凯利的中位终值 243.04 是全表最大，这正是凯利公式的定义—— 它最大化的是典型路径，不是平均路径。

二、平均数完全没用。 2 倍凯利的平均终值是 1.95×10¹¹，比全凯利高十万倍，但它的中位数只有 0.6206——一半以上的路径在亏钱。那个天文数字的平均值来自极少数暴富路径。 用平均收益评价一个下注策略，是这一行最常见的自欺。

三、过度下注的代价先出现在回撤上，再出现在收益上。 从全凯利到 1.5 倍凯利，中位收益从 243.04 掉到 57.14（−76.5%），而中位最大回撤从 89.89% 涨到 98.66%。更糟的收益，换来更糟的风险——没有任何补偿。

四、全凯利的回撤远超大多数人的心理承受力。 即使假设你的概率估计完全准确，全凯利路径的中位最大回撤是 89.89%，而且 45.60% 的路径会在某个时刻跌破起始资金的一半。注意这是“中位”，意味着一半路径的回撤比这更深。

现在回头看第 5 节那笔交易的完整账目：

表 7 半凯利 vs 全凯利：完整对账
维度	半凯利	全凯利	差异
每注增长率 g	0.008208	0.010986	全凯利高 33.8%
500 注中位终值	60.5689	243.0368	全凯利高 4.01 倍
中位最大回撤	61.52%	89.89%	半凯利浅 28.37pp
P(曾跌破 50%)	10.35%	45.60%	半凯利低 77.3%
真实 p = 0.55 时的 g	+0.000776	−0.004019	半凯利仍为正

全凯利在收益上确实领先，而且领先得不少（4 倍）。但它的领先建立在“p 精确已知”这个假设上，而表 4 已经说明这个假设一旦错 3.66pp 就全盘反转。半凯利放弃 25.29% 的理论增长率，换来的是 回撤减半、破产概率降到五分之一、以及 3.66pp 之外的容错空间。

8 顺便一提：定额下注差多少

很多人不按比例下注，而是每注固定押一个金额。这种做法在数学上是另一回事：赢的时候不加注，输的时候不减注，资金的增长是线性的，不是指数的。

同样 500 注、同样 p = 0.60、赔率 1.90，起始 100 单位、每注固定押 1 单位：

--- flat stake 1 unit per bet, 500 bets, start 100 units ---
  flat median final     = 170.00 units (x1.7000)
  kelly median final    = x243.0368 of bankroll
  ratio kelly / flat    = 142.96 x

定额下注把资金从 100 变成 170，也就是 1.70 倍；按比例下注（全凯利）是 243.04 倍。差 142.96 倍。

Note · 但别急着抛弃定额

定额下注的 1.70 倍看着可怜，可它的最大回撤极小、几乎不可能破产，而且不需要你知道 p 是多少——它对估计误差完全免疫，只要 EV 为正就一定线性增长。比例下注的 243 倍是有条件的：条件是你的 p 估得准。在你对自己的模型还没有信心的阶段，定额是更诚实的选择。

9 那该押多少

把全文的数字压成一条决策链：

Checklist · 下注前依次问自己

第一步：先确认有没有优势。 算 f* = (p − 1/赔率) / (赔率 − 1)。若 f* ≤ 0，不下注，无论你多确信。表 5 里赔率 1.60 那一行就是这种情形：60% 胜率照样不该下。

第二步：把 f* 打折。 默认取半凯利（0.5 f*）。表 3 显示这只损失 25.29% 的增长率，而表 6 显示它把腰斩概率从 45.60% 压到 10.35%。若你的 p 来自不到 200 场的样本，取四分之一凯利（保留 43.46%）。

第三步：算容错空间。 问“真实胜率比我以为的低多少，增长率就转负”。本例按全凯利是 3.66pp——太窄。用 IN-05 的方法算出你 p 估计的置信区间半宽，若半宽 > 容错空间，说明你押得太多了。

第四步：设一个与凯利无关的硬上限。 凯利算出 40% 仓位时（表 5 赔率 3.00 那一行），不要真的押 40%。单注上限 2%–5% 之类的规则是对模型风险的对冲，公式里没有这一项，但现实里有。

第五步：估计不确定时就用定额。 第 8 节的定额下注只做到 1.70 倍，但它对 p 的误差完全免疫。在你还没验证过模型的阶段，1.70 倍是真的，243 倍是假的。

还有一条不在表里但同样重要：凯利假设每注独立且赔率不变。真实场景里同一天多场比赛可能高度相关（同联赛、同天气、同裁判尺度），此时把每场都按 f* 下注，实际总暴露远超 f*。相关性越高，就该把总仓位压得越低。

10 复现

本文所有数字由一个脚本一次跑出，无外部依赖，只用 Python 标准库。固定随机种子 20260810，重跑必得相同结果。

$ python _verify_kelly.py

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IN-06 KELLY BET SIZING - TRUTH SCRIPT   seed=20260810
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[1] BASIC SETUP
  win prob p        = 0.6000
  decimal odds      = 1.90  (net b = 0.90)
  break-even prob   = 0.526316
  edge (p - 1/dec)  = 0.073684
  EV per 1 unit     = 0.140000
  kelly f*          = 0.155556  (15.5556% of bankroll)
  f* = edge / b     = 0.155556

[2] GROWTH RATE BY BET FRACTION  g(f) = p*ln(1+bf) + q*ln(1-f)
  f          g per bet      per 100 bets   doubling n
  0.0200     0.002623       1.2999         264.3
  0.0500     0.005893       1.8027         117.6
  0.1000     0.009562       2.6019         72.5
  0.1556     0.010986       3.0001         63.1          <= KELLY
  0.2000     0.010051       2.7322         69.0
  0.2500     0.006692       1.9526         103.6
  0.3111     -0.000954      0.9090         never         <= 2x KELLY
  0.4000     -0.019839      0.1375         never
  0.5000     -0.054321      0.0044         never
  0.8000     -0.318381      0.0000         never
  g(kelly)          = 0.010986
  zero-growth f0    = 0.304967  (g=0.000000000)
  f0 / f*           = 1.960502
  g(2*kelly)        = -0.000954067  (already negative: 2f* > f0)
  100 bets @ kelly  = x3.0001
  100 bets @ 2xkel  = x0.9090
  100 bets @ f=0.50 = x0.004374

[3] HALF KELLY VS FULL KELLY
  f = kelly/2       = 0.077778
  g(kelly/2)        = 0.008208
  growth retained   = 74.7064% of full kelly
  quarter        f=0.038889  g=0.004775  retained= 43.46%
  half           f=0.077778  g=0.008208  retained= 74.71%
  three-quarter  f=0.116667  g=0.010286  retained= 93.63%
  full           f=0.155556  g=0.010986  retained=100.00%

[4] ESTIMATION ERROR: believe p=0.60, truth is lower
  true p     true f*      g @ f=0.1556   verdict
  0.6000     0.155556     0.010986       grow
  0.5800     0.113333     0.004984       grow
  0.5600     0.071111     -0.001018      SHRINK
  0.5500     0.050000     -0.004019      SHRINK
  0.5400     0.028889     -0.007020      SHRINK
  0.5200     -0.013333    -0.013022      SHRINK
  0.5000     -0.055556    -0.019024      SHRINK
  break-even true p at f=0.155556 : p = 0.563391
  i.e. overestimating p by more than 3.6609 pp turns growth negative
  half kelly at true p=0.55 : g = 0.000776 (grow)

[5] MONTE CARLO  500 bets x 2000 paths, start bankroll = 1.0
  strategy     median       mean         med maxDD  P(<50%)    P(<1%)
  f=0.02       3.7115       4.0636       0.1963       0.0000     0.0000
  f=0.05       19.0374      34.7772      0.4392       0.0210     0.0000
  kelly/4      10.8849      15.4801      0.3565       0.0065     0.0000
  kelly/2      60.5689      337.4904     0.6152       0.1035     0.0000
  kelly        243.0368     1831838.6907 0.8989       0.4560     0.0010
  1.5x kelly   57.1383      2270539868.1486 0.9866     0.7300     0.0435
  2x kelly     0.6206       195058109380.8582 0.9996   0.9150     0.2690
  f=0.50       0.0000       332.2606     1.0000       0.9995     0.9755

[6] ARITHMETIC VS GEOMETRIC: the all-in trap
  bet f=1.00 on p=0.60 @ dec 1.90
  arithmetic EV per bet = 0.140000  (positive!)
  P(survive 10 bets)    = 0.00604662
  P(survive 50 bets)    = 0.000000000008
  geometric growth      = -inf  (one loss ends it)
  --- flat stake 1 unit per bet, 500 bets, start 100 units ---
  flat median final     = 170.00 units (x1.7000)
  kelly median final    = x243.0368 of bankroll
  ratio kelly / flat    = 142.96 x

[7] ODDS SENSITIVITY at fixed p=0.60
  dec odds   break-even   kelly f*     g(f*)        action
  1.60       0.625000     -0.066667    n/a          NO BET
  1.75       0.571429     0.066667     0.001677     bet
  1.90       0.526316     0.155556     0.010986     bet
  2.00       0.500000     0.200000     0.020136     bet
  2.20       0.454545     0.266667     0.042517     bet
  2.50       0.400000     0.333333     0.081093     bet
  3.00       0.333333     0.400000     0.148342     bet
==================================================================
END
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表 1 至表 5 与表 7 全部取自上面板块 [1]–[4] 和 [7] 的解析计算；表 6 取自板块 [5] 的蒙特卡洛。第 8 节的定额对比取自板块 [6]。

11 结语

这一行的注意力几乎全在“押哪边”上。 IN-01 到 IN-05 讲的都是如何把“押哪边”做得更诚实—— 别用多数类基线冒充能力、把赔率翻成概率、检查校准、算清置信区间。但本文的表 6 说明了一件更朴素的事： 即使“押哪边”完全正确，“押多少”也能把你送进亏损。

甲和乙有完全相同的判断力，唯一差别是仓位翻了一倍， 100 注后一个 3.00 万一个 0.909 万——相差 3.30 倍，而且一个赚钱一个亏钱。这个差距里没有任何信息优势的成分，纯粹是尺寸。

凯利公式给了一个精确答案，但它的精确性是有条件的：条件是 p 已知。而 IN-04 和 IN-05 花了整整两篇说明 p 永远不是已知的。所以正确的用法不是照 f* 下注，而是把 f* 当上限，然后往下打折—— 折扣的深度取决于你对自己 p 的不确定程度。

一句话收尾：凯利公式算出的是你能承受的最大值，不是你应该下的数。

参考文献

Kelly, J. L. (1956). A New Interpretation of Information Rate. Bell System Technical Journal, 35(4), 917–926.
Breiman, L. (1961). Optimal Gambling Systems for Favorable Games. Proceedings of the Fourth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, 1, 65–78.
Thorp, E. O. (1969). Optimal Gambling Systems for Favorable Games. Review of the International Statistical Institute, 37(3), 273–293.
Thorp, E. O. (2006). The Kelly Criterion in Blackjack, Sports Betting, and the Stock Market. In Handbook of Asset and Liability Management, Vol. 1, 385–428.
MacLean, L. C., Thorp, E. O., & Ziemba, W. T. (2011). The Kelly Capital Growth Investment Criterion: Theory and Practice. World Scientific.
Samuelson, P. A. (1971). The “Fallacy” of Maximizing the Geometric Mean in Long Sequences of Investing or Gambling. PNAS, 68(10), 2493–2496.

本文表 6 为模拟结果： 500 注 × 2000 条路径，真实胜率由脚本设定为 0.60、十进制赔率 1.90，固定种子 20260810，非真实比赛数据；表 1 至表 5 与表 7 为解析计算，与数据集无关。第 6 节的容错空间与 IN-05 的置信区间半宽 0.1358 对照；赔率与隐含概率的换算见 IN-02。

本文是一篇资金管理方法论说明，不构成任何投注建议。文中所有数字均为设定参数下的数学结果，不代表任何真实比赛的可获利机会。